В теории игр матрица выигрышей представляет собой таблицу, в которой стратегии одного игрока перечислены в строках, а стратегии другого игрока – в столбцах. В ячейках показываются выигрыши каждому игроку таким образом, чтобы выигрыш игрока строки был указан первым.
Выигрыш в игре – это добавочный выигрыш/выгода или убыток/издержки, которые начисляются игроку при выполнении его стратегии с учетом стратегии другого игрока. Выигрыш зависит от контекста игры.
Например, фирмы, принимающие решение о своих рекламных бюджетах, беспокоятся о своих доходах; фирмы, осуществляющие новые инвестиции в производство машин и оборудования, заинтересованы в том, чтобы найти свою норму прибыли, и так далее.
Матрица выигрыша является важным инструментом в теории игр, поскольку она обобщает необходимую информацию и помогает определить, существует ли доминирующая стратегия и/или равновесие Нэша. Она имеет применение в моделях олигополии и так далее.
Представление матрицы выплат
Если у игрока строк есть n стратегий, а у игрока столбцов – m стратегий, то количество ячеек в матрице должно быть n × m. Общее количество выигрышных значений составит 2 × n × m.
Матрица выплат содержит имя игрока «Строка» слева от матрицы значений и имя игрока «Столбец» – над матрицей.
Стратегии игрока «Строка» формируют строки матрицы, а стратегии игрока «Столбец» формируют ее столбец. Выигрыш для игрока строки всегда указан первым в каждой ячейке, но фактическое представление может отличаться следующим образом:
- выплаты могут быть разделены с помощью запятой таким образом, что выплаты игроку строки отображаются слева от запятой, а выплаты игроку столбца перечислены справа от запятой;
- выигрыш по строке отображается в левом нижнем углу каждой ячейки, а выигрыш по столбцу – в правом верхнем углу ячейки.
Иногда внутри ячейки рисуется диагональ, разделяющая два выигрыша. Приведенный ниже пример иллюстрирует различные методы представления информации.
Пример
Давайте рассмотрим двух операторов связи: Строку и Столбец. В настоящее время они делят рынок поровну. Нетронутый рынок стоит 50 миллионов долларов.
Если Строка расширит свою сеть, она сможет захватить весь доход в размере 50 миллионов долларов, если Столбец не расширит свою сеть, и наоборот.
Аналогично, если обе стороны расширят свою сеть, Строка получит $20 млн дополнительного дохода, а столбец – $30 млн, но если никто не расширит свою сеть, оба получат нулевой дополнительный доход.
Давайте создадим матрицу выплат для этой игры.
Есть два игрока: Строка и Столбец, и у каждого есть две стратегии, то есть расширяться или не расширяться. Следовательно, в матрице должно быть четыре ячейки.
Мы представляем Строку как игрока, чьи стратегии перечислены в строках без выделения полужирным шрифтом, а Столбца – как игрока, чьи стратегии сведены в столбцы, выделенные полужирным шрифтом.
Верхняя левая ячейка соответствует стратегии, в которой обе фирмы расширяются. В таком случае строка получает $20 млн (это значение указано первым), а столбец – $30 млн (это значение указано последним).
Нижняя левая ячейка соответствует стратегии, когда строка не расширяется, а расширяется столбец. Выигрыш для строки и столбца в этом случае составляет 0 и 50 миллионов долларов соответственно.
Этот выигрыш отображается в правом верхнем углу, который представляет собой выигрыш, когда строка расширяется, но столбец не расширяется.
Нижняя правая ячейка представляет собой ситуацию, в которой ни одна из фирм не предпринимает попыток захватить рынок, и обе получают нулевой выигрыш.
В следующих таблице показаны различные способы представления матрицы выплат:
Вариант 1:
Выплаты представляют собой прирост выручки в миллионах долларов США | Столбец | ||
Расширять | Не расширять | ||
Строка | Расширять | 20, 30 | 50, 0 |
Не расширять | 0, 50 | 0, 0 |
Вариант 2:
Выплаты представляют собой прирост выручки в миллионах долларов США | Столбец | ||
Расширять | Не расширять | ||
Строка | Расширять | 30 20 | 0 50 |
Не расширять | 50 0 | 0 0 |