Бесплатный онлайн-курс. Инвестиции для начинающих

В теории игр матрица выигрышей представляет собой таблицу, в которой стратегии одного игрока перечислены в строках, а стратегии другого игрока — в столбцах. В ячейках показываются выигрыши каждому игроку таким образом, чтобы выигрыш игрока строки был указан первым.

Выигрыш в игре — это добавочный выигрыш/выгода или убыток/издержки, которые начисляются игроку при выполнении его стратегии с учетом стратегии другого игрока. Выигрыш зависит от контекста игры.

Например, фирмы, принимающие решение о своих рекламных бюджетах, беспокоятся о своих доходах; фирмы, осуществляющие новые инвестиции в производство машин и оборудования, заинтересованы в том, чтобы найти свою норму прибыли, и так далее.

Матрица выигрыша является важным инструментом в теории игр, поскольку она обобщает необходимую информацию и помогает определить, существует ли доминирующая стратегия и/или равновесие Нэша. Она имеет применение в моделях олигополии и так далее.

Представление матрицы выплат

Если у игрока строк есть n стратегий, а у игрока столбцов — m стратегий, то количество ячеек в матрице должно быть n × m. Общее количество выигрышных значений составит 2 × n × m.

Представление матрицы выплат

Матрица выплат содержит имя игрока «Строка» слева от матрицы значений и имя игрока «Столбец» — над матрицей.

Стратегии игрока «Строка» формируют строки матрицы, а стратегии игрока «Столбец» формируют ее столбец. Выигрыш для игрока строки всегда указан первым в каждой ячейке, но фактическое представление может отличаться следующим образом:

  • выплаты могут быть разделены с помощью запятой таким образом, что выплаты игроку строки отображаются слева от запятой, а выплаты игроку столбца перечислены справа от запятой;
  • выигрыш по строке отображается в левом нижнем углу каждой ячейки, а выигрыш по столбцу — в правом верхнем углу ячейки.

Иногда внутри ячейки рисуется диагональ, разделяющая два выигрыша. Приведенный ниже пример иллюстрирует различные методы представления информации.

Пример

Давайте рассмотрим двух операторов связи: Строку и Столбец. В настоящее время они делят рынок поровну. Нетронутый рынок стоит 50 миллионов долларов.

Если Строка расширит свою сеть, она сможет захватить весь доход в размере 50 миллионов долларов, если Столбец не расширит свою сеть, и наоборот.

Аналогично, если обе стороны расширят свою сеть, Строка получит $20 млн дополнительного дохода, а столбец — $30 млн, но если никто не расширит свою сеть, оба получат нулевой дополнительный доход.

Давайте создадим матрицу выплат для этой игры.

Пример

Есть два игрока: Строка и Столбец, и у каждого есть две стратегии, то есть расширяться или не расширяться. Следовательно, в матрице должно быть четыре ячейки.

Мы представляем Строку как игрока, чьи стратегии перечислены в строках без выделения полужирным шрифтом, а Столбца — как игрока, чьи стратегии сведены в столбцы, выделенные полужирным шрифтом.

Верхняя левая ячейка соответствует стратегии, в которой обе фирмы расширяются. В таком случае строка получает $20 млн (это значение указано первым), а столбец — $30 млн (это значение указано последним).

Нижняя левая ячейка соответствует стратегии, когда строка не расширяется, а расширяется столбец. Выигрыш для строки и столбца в этом случае составляет 0 и 50 миллионов долларов соответственно.

Этот выигрыш отображается в правом верхнем углу, который представляет собой выигрыш, когда строка расширяется, но столбец не расширяется.

Нижняя правая ячейка представляет собой ситуацию, в которой ни одна из фирм не предпринимает попыток захватить рынок, и обе получают нулевой выигрыш.

В следующих таблице показаны различные способы представления матрицы выплат:

Вариант 1:

Выплаты представляют собой прирост выручки в миллионах долларов США Столбец
Расширять Не расширять
Строка Расширять 20, 30 50, 0
Не расширять 0, 50 0, 0

Вариант 2:

Выплаты представляют собой прирост выручки в миллионах долларов США Столбец
Расширять Не расширять
Строка Расширять

30

20

0

50

Не расширять

50

0

0

0